一、和定最值的含義

和定最值指的是，多個量的和一定，求其中某個量的最大或最小值。例如：5個箱子總重50公斤，且重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的1.5倍，問最重的箱子重量最多是多少公斤?在這道例題里面，“5個箱子總重50公斤”，即對應(yīng)含義里面的“多個量的和一定”，例題中最后問到，“最重的箱子重量最多是多少公斤”即是指求其中某個量的最大或者最小值。

二、和定最值的題目類型問法及解題技巧。

和定最值問題總共包括三種題目類型，同向極值，逆向極值和混合極值。下面將通過例題對著三種類型的解法和技巧進行解釋。

1.同向極值

同向極值包括兩個類型，求最大量的最大值和最小量的最小值。下面通過兩個例題對這兩種題目類型進行說明。

例1：5個相異正整數(shù)的和為50，最大的數(shù)不超過14，那么最小的數(shù)最小是多少?

解析：這道題目符合和定最值的含義，最后求最小量最小值，屬于同向極值得問題。如果讓最小的數(shù)最小，那就讓其他的數(shù)盡量的大。而最大的數(shù)不超過15，那就讓最大的數(shù)為15，因為所有的數(shù)不相同，所以其他的數(shù)依次是13，12，11，10余下還有4，所以最小量的最小值為4。

例2：在一次抽獎活動中，要把18個獎品分成數(shù)量不等的4份各自放進不同的抽獎箱，則一個抽獎箱最多可以放()個獎品。

解析：如果想要最多的箱子最大，那就讓其他的箱子的獎品數(shù)量盡量的少，因為每個箱子數(shù)量不同，那就讓其他的分別為1個，2個，3個。所以最多的那個箱子至多可以放12個。

總而言之，同向極值問題中，如果想要讓最大的量最大，那就讓其他的量盡量的小;如果想要最小的量最小，那就讓其他的量盡量的大。

2.逆向極值

逆向極值包括兩個類型，求最大量的最小值和最小量的最大值。下面通過兩個例題對這兩種題目類型進行說明。

例1：單位將新招聘100個大學(xué)畢業(yè)生分給行政部門等9個部門，如果行政部門分的的人數(shù)比其他部門都多，那么行政部門至少分多少人?

解析：9個部門總?cè)藬?shù)為100，求分的人數(shù)最多的那個人至少分多少人。這是屬于和定最值的逆向極值中的求最大量的最小值。如果想要分的最多的部門分的最少，那就讓每個部門都盡量的平均和接近，100÷9=11……1。那就先給9個部門每個部門分11人，余下的1人給到行政部門，就可以保證行政部門分得的人數(shù)比其他都多且是最少的情況。

例2：班級組織其中考試，考察數(shù)學(xué)、語文兩個學(xué)科，每科的滿分都是100分，每名同學(xué)的成績都是整數(shù)，且互不相等。若5名同學(xué)的語文成績之和為480分，則成績最低的最高考多少分?

解析：5個人的語文成績之和一定，求考的最低的那個人最高考多少分，屬于逆向極值。為了讓考得最低的最高，那就讓每個人都盡量的接近，每個人相差1分是最接近的情況，那么每個人的成績就會構(gòu)成一個等差數(shù)列。利用等差數(shù)列的中項求和公式可得5個人最中間的那個人的成績?yōu)?80÷5=96，所以最低的那個人為94分。

例3：班級組織其中考試，考察數(shù)學(xué)、語文兩個學(xué)科，每科的滿分都是100分，每名同學(xué)的成績都是整數(shù)，且互不相等。若6名同學(xué)的語文成績之和為453分，則成績最高的最低考多少分?

解析：6個人的語文成績之和一定，求考的最高的那個人最低考多少分，屬于逆向極值。為了讓考得最高的最低，那就讓每個人都盡量的接近，每個人相差1分是最接近的情況，那么每個人的成績就會構(gòu)成一個等差數(shù)列。利用等差數(shù)列的中項求和公式可得6個人最中間的那2個人的成績?yōu)?53÷3=151，那么中間的兩個人的成績分別為76和75，所以最高的那個人最低考的分?jǐn)?shù)為78分。

總而言之，逆向極值(要求各項不相同且為整數(shù))可以通過構(gòu)造等差數(shù)列求解。如果是奇數(shù)項，那么就用總和直接除以項數(shù)，求得中間項，如果是偶數(shù)項則將總和除以項數(shù)的一半求得中間的兩項和。如果有余數(shù)，則將余量根據(jù)已經(jīng)構(gòu)造的數(shù)列將其平均分配，你過來我保證不打死你這些量盡量的接近平均。

3.混合極值

混合極值得題型指的是最終求得是中間某個量的最大或者是最小值。

例1：一次數(shù)學(xué)考試滿分為100分，某班前6名同學(xué)的平均分為95分，排名第6的同學(xué)得86分，假如每個人得分是互不相同的整數(shù)，那么排名第三的同學(xué)最少得多少分?

解析:

這道題目是在求第三名至少得分，即是求中間某個量的最大或者是最小值。如果要第三名考得最少則讓比它多都考得最多，即讓第一名為100分，第二名為99分;比它少都盡量的與它接近，第6名已知為86分。第三四五名構(gòu)成一個逆向極值的問題。因為已知平均分為95分，所以先整體構(gòu)造等差數(shù)列得到如圖第二行的數(shù)據(jù)，再利用盈虧的思想求得第三名為96分。

以上就是和定最值問題的題目類型和解題技巧。希望能夠?qū)?018年參加考試的各位考生能有所幫助。